Parallélisme de deux droites

Propriété

Soit \(\text A\), \(\text B\), \(\text C\) et \(\text D\) quatre points distincts.

Les droites \((\text{AB})\) et \((\text{CD})\) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}}\) sont colinéaires.

Exemple

Dans un repère \(\left( \text{O} ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère \(\text A \left(-4~;3 \right)\), \(\text B \left(1~;-5 \right)\), \(\text C \left(11~;-6 \right)\) et \(\text D \left(1~;10 \right)\).
On a \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} 5\\ -8 \\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}}\begin{pmatrix} -10\\ 16 \\ \end{pmatrix}\).
On calcule le déterminant de ces deux vecteurs :
\(\text{det}\left( \overrightarrow{\text{AB}} , \overrightarrow{\text{CD}}\right) = 5 \times 16 - (-10) \times (-8) = 0\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}}\) sont colinéaires. Donc les droites \((\text{AB})\) et \((\text{CD})\) sont parallèles.